viernes, 5 de abril de 2013
miércoles, 3 de abril de 2013
FUNCIÒN EXPONENCIAL Y LOGARITMO
Función exponencial
La función exponencial, es conocida formalmente como la función real ex, donde e es el número de Euler, aproximadamente 2.71828...; esta función tiene por dominio de definición el conjunto de los números reales, y tiene la particularidad de que su derivada es la misma función. Se denota equivalentemente como f(x)=ex o exp(x), donde e es la base de los logaritmos naturales y corresponde a la función inversa del logaritmo natural.En términos mucho más generales, una función real E(x) se dice que es del tipo exponencial en base a si tiene la forma
La función exponencial ex puede ser definida de diversas maneras equivalentes entre sí, como una serie infinita. En particular puede ser definida como una serie de potencias:
siendo a, K ∈ R números reales, con a > 0. Así pues, se obtiene un abanico de exponenciales, todas ellas similares, que dependen de la base a que utilicen.
La función logarítmica en base a es la función inversa de la exponencial en base a.
x | |
---|---|
1/8 | -3 |
1/4 | -2 |
1/2 | -1 |
1 | 0 |
2 | 1 |
4 | 2 |
8 | 3 |
x | |
---|---|
1/8 | 3 |
1/4 | 2 |
1/2 | 1 |
1 | 0 |
2 | −1 |
4 | −2 |
8 | −3 |
Propiedades de las funciones logarítmicas
Dominio:
Recorrido:
Es continua.
Los puntos (1, 0) y (a, 1) pertenecen a la gráfica.
Es inyectiva (ninguna imagen tiene más de un original).
Creciente si a>1.
Decreciente si a<1.
Las gráfica de la función logarítmica es simétrica (respecto a la bisectriz del 1er y 3er cuadrante) de la gráfica de la función exponencial, ya que son funciones reciprocas o inversas entre sí.
Definición de logaritmo
Siendo a la base, x el número e y el logaritmo.
Calcular por la definición de logaritmo el valor de y.
1
2
3
4
5
De la definición de logaritmo podemos deducir:
No existe el logaritmo de un número con base negativa.
No existe el logaritmo de un número negativo.
No existe el logaritmo de cero.
El logaritmo de 1 es cero.
El logaritmo en base a de a es uno.
El logaritmo en base a de una potencia en base a es igual al exponente.
Propiedades de los logaritmos
1El logaritmo de un producto es igual a la suma de los logaritmos de los factores.
2 El logaritmo de un cociente es igual al logaritmo del dividendo menos el logaritmo del divisor.
3El logaritmo de una potencia es igual al producto del exponente por el logaritmo de la base.
4El logaritmo de una raíz es igual al cociente entre el logaritmo del radicando y el índice de la raíz.
5Cambio de base:
Logaritmos decimales
Son los que tienen base 10. Se representan por log (x).
Logaritmos neperianos
Son los que tienen base e. Se representan por ln (x) o L(x).
FUNCIÒN RACIONAL
Asìntotas de la grafica de una funcion racional
Si la distancia de una recta a una gràfica tiende a cero ( la recta se aproxima a la gràfica casi hasta rosarla) cuando un punto de esta se aleja del origen, entonces la recta es una asìntota de la gràfica.PASOS PARA TRAZAR LA CARA DE UNA FUNCION RACIONAL
Supongamos que, donde son polinomios que no tienen el factor comùn.
1.- Encontrar los puntos de intersecciòn con el eje x, es decir, los ceros reales del nuemerador y localizar los puntos correspondientes sobre el eje.
2.- Hayar los ceros reales del denominador para cada cero real trace la asintota vertical con una lìnea punteada.
3.- Ubicar el punto de intersecciòn con el eje y, si existe, localizar el punto en ele eje y .
4.- Determinar en caso de cque las haya, la discontonuidad removible.
5 .-Hayar al menos dos puntos de la gràfica que esten a ladercha de la asintota vertical y a la izquierda de la misma, en caso de que los haya.
6.- Aplicar el teorema sobre las asintotas horizontales.
7.- Unir mediante curvas los puntos obtenidos para trazar la gràfica de la funciòn
Aplicaciones de la funcion racional
La variaciòn inverdamente proporcional, es un caso en el que aparece una funcion racional para este tipo de variacion y=k/x, en donde k es una constante, "y" varia inversamente con x
martes, 2 de abril de 2013
TEOREMAS
Teorema de la factorizaciòn lineal
Cualquier polinomio cuyo grado n estè definido, tendrà exactamente n factores linealesTeorema fundamental del algebra
odo polionomio de grado n tiene esactamente n raices que pueden ser tres tipos dos puntos simples, multiples o complejasGrafica de funciones polinomiales
Los ceros reales representan los puntos de intersecciòn de un polinomio con eje x, apartir de ahì es posible establecer la curva de un polinomio. Un valor anterior al cero real mas pequeño, sustituyendola en la funciònnos permite conocer si la curva es creeciente o decreciente, dependioendo si la pendiente de la curva es positiva o negativa respectivamente
El teorema racional de las raíces
Da raíces racionales posibles de un solo polinomio variable con coeficientes del número entero. Las raíces racionales son una raíz de un polinomio que sea un número racional. Dado un polinomio
,
cualquier raíz racional del polinomio tiene un factor de a0
como numerador y un factor de como denominador. El teorema racional de las raíces
también se llama el teorema racional de los ceros.
Comience con el polinómico 2x3 + 5x2 - 4x - 3.
Desde a0 = -3, el numerador de cualquier raíz racional debe
ser uno de ±1, ±3. Desde a3 = 2, el denominador
de cualquier raíz racional debe ser uno de ±1, ±2.
Para ver porqué, comience con los dos factores.
raìces existe una extrecha relaciòn entre las raices de una funciòn racional y las de un polinomio: Su numerador ( recuerda que para que una fracciòn sea cero basta con que el numerador tenga ese numerador).
Las raices de un funciòn racional corresponden a las raices del polinomio que aparece en el numerador.
se determina resolvienso la ecuaciòn que resulta de igualar esta funciòn atrasar la grafica de una funciòn racional f, es importante responder estas dos preguntas:
1 ¿ què puede decirse de los valores de la funciòn f x ) cuando x es casi ( pero no igual ) un cero del denominador ?
2 ¿ què se puede decir de los valores de la funciòn f(x) cunado x es grande positiva o x grande negativa?
Si es un cero del denominador, con frecuencia se presentanlas situaciones siguientes:
x se aproxima a desde la izquierda ( valores menores a )
x se aproxima a desde la derecha ( valores mayores)
f(x) aumenta sin lìmite ( puede ser tan positiva como se desee)
f(x) disminuye sin lìmite ( puede ser tan negativa como se desee)
PROPIEDADES GEOMÈTRICAS DE LAS FUNCIONES POLINOMIALES DE GRADOS 3 Y 4
La función polinomial de tercer grado más sencilla es: y= x3
mpezamos calculando sus raíces.
Para quey= 0 se requiere que x3=0.
En palabras esto nos está diciendo que debemos encontrar los números que al multiplicarlos
por sí mismo tres veces obtengamos cero.
El único número que satisface la condición anterior es
x=0.
Esta es la única raíz de la función.
Para encontrar el dominio recuerda que el dominio de cualquier función polinomial es el conjunto de los números reales.El contradominio se calcula de la sigiuente manera:
Observa que cuando x es positivo, el resultado de elevarlo al cubo es positivo también.
Cuando x es negativo el resultado de elevarlo alcubo es negativo.
Entonces, el contradominio también es el conjunto de los números reales, porque cuando x
crece mucho los resultados de elevarlo al cubo también crece mucho.
Esto mismo pasa con valores tanto positivos como negativosDefinición División sintética
La división sintética entre dos polinomios se realiza utilizando solamente los coeficientes.
FUNCIONES DE PRIMER GRADO SEGUNDO GRADO
Ecuación de primer grado
Formas complejas como las anteriores pueden reescribirse usando las
reglas del álgebra elemental en formas más simples. Las letras
mayúsculas representan constantes, mientras x e y son variables.
Ecuación general
-
- Aquí A y B no son ambos cero. Representa una línea en el cartesiano. Es posible encontrar los valores donde x e y se anulan.
- Ecuación segmentaria o simétrica
-
- Aquí ni E ni F no pueden ser cero. El gráfico de esta ecuación corta al eje X y al eje Y en E y F respectivamente.
- Forma paramétrica
- Dos ecuaciones que deben cumplirse de manera simultanea, cada una en la variable t. Puede convertirse a la forma general despejando t en ambas ecuaciones e igualando.
- Casos especiales:
- Un caso especial es la forma estándar donde y . El gráfico es una línea horizontal sin intersección con el eje X ó (si F = 0) coincidente con ese eje.
- Otro caso especial de la forma general donde y . El gráfico es una línea vertical, interceptando el eje X en E.
- En este caso, todas las variables fueron canceladas, dejando una ecuación que es verdadera en todos los casos. La forma original (no una tan trivial como la del ejemplo), es llamada identidad. El gráfico es todo el plano cartesiano, ya que lo satisface todo par de números reales x e y.
Nótese que si la manipulación algebraica lleva a una ecuación como 1 = 0 entonces la original es llamada inconsistente, o sea que no se cumple para ningún par de números x e y. Un ejemplo podría ser: .
Adicionalmente podría haber más de dos variables, en ecuaciones simultaneas. Para más información véa: Sistema lineal de ecuaciones
Las funciones de segundo
Las funciones de segundo grado o parabólicas tienen mucho uso dentro del mundo de los videojuegos, piensa en Super Mario o en cualquier juego de plataformas 2D que hayas jugado. Cuando saltas el movimiento que describe el personaje es un movimiento parabólico que se puede obtener con una función de segundo grado. Tienen el siguiente aspecto.Donde a, b y c son números. Si a vale 0 nos quedaría.
Que ya no sería una parábola sino una recta como vimos en el artículo anterior
Para dibujar su gráfica podríamos usar el método de ir dándole valores a
la x y obtener sus respectivas y, pero necesitaríamos muchos puntos
para poder dibujar bien, lo mejor es buscar los puntos claves. Los
puntos de corte con los ejes y el vértice.
Ecuación de tercer grado
Una ecuación de tercer grado o ecuación cúbica con una incógnita es una ecuación que se puede poner bajo la forma canónica:
- ,
La función cúbica
Es una función polinómica de tercer grado. Tiene la forma:
donde el coeficiente a es distinto de 0.
Tanto el dominio de definición como el conjunto imagen de estas funciones pertenecen a los números reales.
La derivada de una función cúbica genera una función cuadrática y su integral una función cuártica.
Discriminante
Resulta importante y a la vez esencial obtener propiedades elementales de los polinomios como herramientas de análisis en los resultados según los valores de sus coeficientes. Cualquier ecuación cúbica con coeficientes reales tiene al menos una solución x sobre los números reales; esta es una consecuencia del teorema del valor intermedio. Se pueden distinguir varios posibles casos, usando para ello el discriminante.
Los siguientes casos necesitan ser considerados:
- Si Δ > 0, entonces la ecuación tiene tres distintas raíces reales.
- Si Δ = 0, entonces la ecuación tiene múltiples raíces y todas sus raíces son reales (puede ser una raíz triple o una doble y otra simple).
- Si Δ < 0, Entonces la ecuación tiene una raíz real y dos raíces complejas conjugadas.
FUNCION CUARTICA
El método siguiente permite obtener las cuatro raíces al mismo tiempo. Este método es llamado "método de Descartes"
Método de Descartes
Los pasos de la resolución para el método de Descartes son:
- Dividir la ecuación inicial por el coeficiente a
- Proceder al cambio de incógnita para suprimir el término cúbico. ras sustituir x y operando con las identidades notables,
- Y ahora, la idea genial: factorizar lo anterior
- Desarrollando la expresión e identificando los dos polinomios, obtenemos las condiciones:
- Después de algunos cálculos y lo hallamos es una ecuación de tercer grado en la variabley que se puede resolver usando el método de Cardano.
y=5x^4
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