FUNCIONES Y MÀS

Dada una función , se llama función inversa de y se denota por a otra función que para cualquier valor del dominio de se cumple que:
 

 

No todas las funciones tienen inversa, para que exista se tiene que cumplir que para cada valor del recorrido de f , proviene de un único valor del dominio .  

 Para calcular la función inversa: 

a) Se cambian los nombres de e .

b) Se despeja la . 

 Continuidad

f y g son simultáneamente continuas: Si una lo es, también lo será la otra. Sin embargo, es posible que ninguna lo sea: Por ejemplo se puede definir f así: si x es racional, f(x) = x, y si es irracional, f(x) = -x. En este caso muy particular g = f.    

Además, en tal caso f y g son monótonas y tienen el mismo sentido de variación

 

                                        Gráfica de la función inversa

 

• Las gráficas que representan f y g son simétricas con relación a la primera diagonal, es decir, la recta Δ: y = x. En efecto, esta simetría envía un punto cualquiera M(x,y) sobre el punto M´(y,x). M pertenece a la curva de f si y sólo si M´ pertenece a la de g, porque la primera condición se escribe y = f(x) y la segunda x = g(y) y son por definición equivalentes.

• Las tangentes en M y M´ tienen pendientes inversas. Es un efecto de la simetría anterior, y es la ilustración geométrica de la relación ya vista g'(y)· f '(x) = 1.                  

 FUNCIONES CONSTANTES

La función constante es del tipo: y = n 

 El criterio viene dado por un número real.

La pendiente es 0.

La gráfica es una recta horizontal paralela a al eje de abscisas.

Rectas verticales

Las rectas paralelas al eje de ordenadas no son funciones, ya que un valor de x tiene infinitas imágenes y para que sea función sólo puede tener una.

FUNCIÒN IDENTIDAD

La función identidad es del tipo:

f(x) = x

Su gráfica es la bisectriz del primer y tercer cuadrante.

Por tanto la recta forma con la parte positiva del eje de abscisas un ángulo de 45º y tiene de pendiente: m = 1.

 

FUNCIÒN ESCALON

 Una función escalonada es aquella función definida a trozos que en cualquier intervalo finito [a, b] en que esté definida tiene un número finito de discontinuidades c₁ < c₂ < ... < c_n, y en cada intervalo ]c_k, c_k+1[ es constante, teniendo discontinuidades de salto en los puntos c_k.

una función escalonada es aquella cuya gráfica tiene la forma de una escalera o una serie de escalones (que no necesariamente deben ser crecientes) al ser dibujada. El ejemplo más común de función escalonada es la función parte entera. Otras funciones escalonadas son la función unitaria de Heaviside o función escalón unitario, y la función signo

La función de valor absoluto

  

 Tiene por ecuación f(x) = |x|, y siempre representa distancias; por lo tanto, siempre será positiva o nula. 

En esta condición, de ser siempre positiva o nula, su gráfica no se encontrará jamás debajo del eje x. Su gráfica va a estar siempre por encima de dicho eje o, a lo sumo, tocándolo.

Las funciones en valor absoluto siempre representan una distancia o intervalos (tramos o trozos) y se pueden resolver o calcular siguiendo los siguientes pasos:

1. Se iguala a cero la función, sin el valor absoluto, y se calculan sus raíces (los valores de x).

2. Se forman intervalos con las raíces (los valores de x) y se evalúa el signo de cada intervalo.

3. Definimos la función a intervalos, teniendo en cuenta que en los intervalos donde la x es negativa se cambia el signo de la función.

4. Representamos la función resultante.

 

TRASLACIÓN DE GRÁFICAS DE FUNCIONES

Este video que se presenta es muy sencillo y nos aclara la forma de gráficas y los cambios que sufre una gráfica. Analizándolo veremos las condiciones para que una función cambie cuando cambia su gráfica.

Para graficar una función, es necesario establecer muy bien los valores de equis y los valores de ye. Esto es el domino y el rango de la función. Esto se consigue haciendo una tabla de valores y luego colocando los puntos en el plano cartesiano.
Por ejemplo la función idéntica o identidad. Que corresponde a la función y = x. veamos su proceso para graficarla.



 LUEGO UNIENDO LOS PUNTOS

Una de las cosas que queremos descubrir tiene que ver con el cambio que sufre la grafica, y qué relación tiene este cambio con la función algebraica. Si decimos que la función idéntica se mueve un poco hacia arriba o hacia abajo sufre una translación de tipo vertical, y su  movimiento es hacia los lados, entonces sufre una translación horizontal. De mismo modo que esta se mueve, su expresión algebraica también sufre esos cambios.

Así entonces las expresión y = x, que originalmente tiene la forma de la ecuación de la recta Y = mx + b donde m es la pendiente de la recta y b el valor de la intersección con el eje de las ordenadas. Vemos que e cambio es vertical y a pesar de moverse de forma horizontal terminará cortando al eje de las ordenadas en el valor de b.
Las ecuaciones serán:
Y = x + 1     y = x + 2     y = x + 3   y = x- 1       y = x -2
Y las ecuaciones serán muchas, algo a lo que llamamos familia de las rectas. Que son las que tienen la misma pendiente pero una posición distinta.
Interpretemos estas curvas que nacen de la función y = x². Vemos una curva punteada es la original, y las demás curvas nacen de ella misma solo que su desplazamiento es vertical. Por eso las ecuaciones son
y = x² + b, donde b  es el número donde corta al eje de las ordenadas o y

Pero si e cambio es hacia el lado horizontal, ya no identificaremos el vértice de la parábola o la curva en el corte con las ordenadas, esta vez su vértice estará en otra coordenadas (x,y).
DELAZAMIENTOS VERTICALES Y HORIZONTALES
Los desplazamientos verticales y los desplazamientos horizontales en las ecuaciones cuadráticas  esta de terminados a partir de origen o la coordenada (0,0).
VERTICAL: Si la gráfica se mueve hacia arriba o hacia abajo el valor de b y su signo son iguales.
HORIZONTAL: Si el desplazamiento es hacia los lados, el signo de uno de los términos será contrario.
REFLEXIÓN CON RESPECTO AL EJE EQUIS.
Una forma de trasladar las funciones desde el origen es una reflexión o un reflejo de las coordenadas que determinan la grafica.
Se a la  función y = x² sabemos que es una grafica curva que abre hacia arriba, pero si esta función cambia un poco con el signo contrario a ser y = – x² entonces se muestra una grafica distinta.
Vemos en esta grafica la función que da origen a la traslación es positiva y la que se refleja es negativa. Una forma de recordar como queda la trasformación es que cuando la función cuadrática es positiva resulta “feliz” y si es negativa, resulta una gráfica “triste”.



 Estas transformaciones de una función son las básicas. como hemos dicho, cuando la gráfica se mueve, la ecuación algebraica sufre también sus cambios.