Matemàticas IV :D: RELACIÒN

RELACION

Una relación $R_{\ }^{\ }$ , de los conjuntos $A_1, A_2, \ldots , A_n$ es un subconjunto del producto cartesiano

$R\subseteq A_1 \times A_2 \times \ldots \times A_n$

Una relación binaria es una relación entre dos conjuntos.
El concepto de relación implica la idea de enumeración, de algunos de los elementos, de los conjunto que forman tuplas.

$R(a_1,a_2, \ldots ,a_n) \qquad \mbox{o bien} \qquad (a_1,a_2, \ldots ,a_n) \in R$

Un caso particular es cuando todos los conjuntos de la relación son iguales: $A_1 = A_2 = \ldots = A_n$ en este caso se representa $A \times A \times \ldots \times A$ como $A^n \,$ , pudiéndose decir que la relación pertenece a A a la n.

Tipos de relaciones

Relación unaria:

En matemáticas, una relación unaria R, en un conjunto A, es el subconjunto de los elementos x de A que cumplen una determinada condición que define

$R = \{ x: \; x \in A \; \land \; R(x) = cierto \}$

Relación binaria: con dos conjuntos

En matemáticas, una relación binaria es una relación matemática R entre los elementos de dos conjuntos A y B. Una relación de este tipo se puede representar mediante pares ordenados, $(a,b)\in A \times B$ :¹

$R = \Big\{ (a,b): \; a \in A \quad \land \quad b \in B \quad \land \quad R(a,b) = \mbox{cierto} \Big\}$

Las proposiciones siguientes son correctas para representar una relación binaria $R\,$ :

$a \mathcal{R} b \qquad \mbox{o} \qquad R(a,b) \qquad \mbox{o bien} \qquad (a,b) \in R$

También puede expresarse:

$\mathcal{R} \; a \; b$

Relación ternaria: con tres conjuntos

En matemáticas, una relación ternaria R es el conjunto de ternas, $(a,b,c) \in A \times B \times C$ que cumplen una determinada condición que define R

$R = \{ (a,b,c): \; a \in A \land b \in B \land c \in C \land R(a,b,c) = cierto \}$

Relación cuaternaria: con cuatro conjuntos

En matemáticas, una relación cuaternaria R es el conjunto de cuaternas, $(a,b,c,d) \in A \times B \times C \times D$ que cumplen una determinada condición que define R

$R = \{ (a,b,c,d): \; a \in A \land b \in B \land c \in C \land d \in D \land R(a,b,c,d) = cierto \}$

Las dos proposiciones siguientes son correctas para representar una relación cuaternaria $R \,$ :

$R(a,b,c,d) \qquad \mbox{o bien} \qquad (a,b,c,d) \in R$

Relación n-aria: caso general con n conjuntos

En matemáticas, una relación n-aria R (o a menudo simplemente relación) es una generalización de la relación binaria, donde R está formada por una tupla de n términos:

$R= \{(x_1,x_2,\ldots , x_n): \; x_1 \in X_1 \; \land \; x_2 \in X_2 \; \land \; \ldots \;\land \; x_n \in X_n \; \land \; R(x_1,x_2, \ldots , x_n) = cierto \}$

Un predicado n-ario: $R(x_1,x_2, \ldots , x_n) = cierto$ es una función a valores de verdad de n variables.

Debido a que una relación como la anterior define de manera única un predicado n-ario que vale para $x_1,x_2,\ldots , x_n$ si y sólo si $(x_1,x_2,\ldots , x_n)$ está en $R \,$ , y viceversa, la relación y el predicado se denotan a menudo con el mismo símbolo. Así pues, por ejemplo, las dos proposiciones siguientes se consideran como equivalentes:

$R(x_1,x_2,\ldots , x_n)$
$(x_1,x_2,\ldots , x_n) \in R$

Matemàticas IV :D

martes, 2 de abril de 2013

RELACIÒN